Question

椭圆大题

椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1的右交点为F，离心率为e＝1/2，过F作直线l，交椭圆于A.B两点，P为线段AB的中点，O为坐标原点，当三角形PFO的面积的最大值为√3/8时，求椭圆的方程和直线l的方程。
非常感谢，但y方程少了正负号

Answer 1

解：c/a=1/2,a=2c,b^2=a^2-c^2=3c^2
所以椭圆方程为：x^2/4c^2+y^2/3c^2=1,即3x^2+4y^2=12c^2
F(c,0),l过（c,0)
设l:x=my+c,(m=1/k不为0)
与椭圆联立，消x，得（3m^2+4)y^2+6mcy-9c^2=0
即yA+yB=-6mc/(3m^2+4)
yAyB=-9c^2/(3m^2+4)
又P是AB中点，yP=(yA+yB)/2=-3mc/(3m^2+4),
S三角形PFO=1/2*|OF|*|yP|=1/2*c*|3mc/(3m^2+4)|=1/2*c^2*3|m|/(3m^2+4)
又设f(m)=|m|/(3m^2+4)=1/[3|m|+4/|m|]
又3|m|+4/|m|>=2跟号12=4根号3，当m=正负(2倍根号3)/3时等号成立
所以f(m)<=根号3/12,S三角形<=根号3*c^2/8
三角形PFO面积的最大值为根号3除以8=根号3*c^2/8,
得c=1
所以椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1
直线方程x=正负(2倍根号3)/3*y+1,即y=(根号3/2)*x-(根号3/2)