Question

数学题 求解答 急

已知双曲线C: X等于1（AB都大于零） 的离心率为根号3左顶点为（-1,0）

（1）求双曲线方程
（2）已知直线X-Y+M=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在X²+Y²＝5上 求m的值和线段AB的长

Answer 1

1、
左顶点为(-1,0)，则a=1，
离心率e=c/a=√3，则c=√3
所以：b²=c²-a²=2
所以，双曲线方程为：x²-y²/2=1
2、
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB中点为D(x0,y0)，则2x0=x1+x2，2y0=y1+y2；
A,B在椭圆上，所以：x1²-y1²/2=1，x2²-y2²/2=1；
两式作差得：x1²-x2²-(y1²-y2²)/2=0
2(x1²-x2²)=y1²-y2²
2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)
2*2x0(x1-x2)=2y0(y1-y2)
2x0(x1-x2)=y0(y1-y2)
2x0/y0=(y1-y2)/(x1-x2)
左式(y1-y2)/(x1-x2)是AB的斜率，直线x-y+m=0的斜率为1；
所以：2x0/y0=1，即y0=2x0
又点D(x0,y0)在圆x²+y²=5上，所以：x0²+y0²=5，把y0=2x0代入，得：5x0²=5；x0=±1；
x0=1，y0=2；代入直线x-y+m=0，得：m=1；
x0=-1，y0=-2，代入直线x-y+m=0，得：m=-1；
所以，m=±1
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
因为A,B在直线x-y+m=0，即y=x+m上，所以：y1=x1+m，y2=x2+m；则y1-y2=x1-x2；
所以AB²=2(x1-x2)²
当m=1时，直线为x-y+1=0，即y=x+1，与双曲线x²-y²/2=1联列方程组，消去y，
得：x²-2x-3=0，
(x-3)(x+1)=0
x1=-1，x2=3
所以：AB²=2(x1-x2)²=32
所以：AB=4√2
当m=-1时，直线为x-y-1=0，即y=x-1，与双曲线x²-y²/2=1联列方程组，消去y，
得：x²+2x-3=0，
(x+3)(x-1)=0
x1=1，x2=-3
所以：AB²=2(x1-x2)²=32
所以：AB=4√2
综上，m=±1，AB=4√2

注：这里采用了解直线与圆锥曲线题型时最重要最常用的两种方法：点差法，韦达定理法。
要好好掌握哦。。。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

由题得c=1
e=c/a=根3
故a=根3/3
b^2=c^2-a^2=2/3
3x^2-(3x^2)/2=1