Question

已知函数f（x）=ax^2+x-a,a∈R,解不等式f（x）＞1

求详细过程

Answer 1

解：
第一种情况：a=0（这种情况千万不要漏掉！），这时不等式为 x>1
第二种情况：a>0, ax^2+x-a>1为ax^2+x-a-1>0, 即(x-1)(ax+a+1)>0,由于a>0，故-(a+1)/a小于零，所以不等式的解为 x>1或x<-(a+1)/a
第三种情况：a<0,
因为a<0，所以 (x-1)(x+(a+1)/a)<0
(i) 当 -(a+1)/a<1 即 a<-1/2时，解集是 ｛x|-(a+1)/a<x<1｝
(ii)当 -(a+1)/a=1 即 a=-1/2时，解集是 Φ（空集）
(iii)当 -(a+1)/a>1 即 -1/2<a<0时，解集是 ｛x|1<x<-(a+1)/a｝

追问

函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0,正无穷）上是单调减函数，若实数x满足f(x)>f（2x+1),求x的取值范围。

追答

f（x）是定义在R上的偶函数,则有f(x)=f(|x|)
f(x)>f(2x+1),即有f(|x|)>f(|2x+1|)
又在[0，+无穷）上是减函数，故有：|x|0
(3x+1)(x+1)>0
x>-1/3或x-1/3或x<-1

Answer 2

f(x)>1
ax^2+x-a-1>0
(ax+a+1)(x-1)>0
当：-(a+1)/a=1 时，　即：a=-1/2 时，无解
当-(a+1)/a>1时有：
x<1 或：x>-(a+1)/a
当-(a+1)/a<1时有：
x<-(a+1)/a 可x>1

追问

函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0,正无穷）上是单调减函数，若实数x满足f(x)>f（2x+1),求x的取值范围。

追答

当：x>0, 2x+1>0 即：x>0 时有：
f(x)>f(2x+1)所以有：
x0, 2x+10 即：-1/2≤xf(2x+1)
-xf(2x+1)
x>2x+1 解得：x<-1
综上解得：x<-1 或-1/3<x<0 或x≥0

Answer 3

ax^2+x-a-1>0
当a<0 抛物线 开口向下 △=1+4a(a+1)=(2a+1)平方
抛物线与x轴交点 解ax^2+x-a-1=0 可求
ax^2+x-a-1>0
x 取值 在 抛物线与x轴交点 之间

当a>0 抛物线 开口向上 △=1+4a(a+1)=(2a+1)平方
抛物线与x轴交点 解ax^2+x-a-1=0 可求
ax^2+x-a-1>0
x 取值 在 抛物线与x轴交点 外侧

当a=0
ax^2+x-a-1>0
即 x>1

追问

函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0,正无穷）上是单调减函数，若实数x满足f(x)>f（2x+1),求x的取值范围。

追答

f(x)>f（2x+1)
当x>0 2x+1>0 x2x+1 (负无穷，0]增函数，成立
当x在（-1，-1/2）时 2x+1-x=x+1>0 所以 x0 x<0 使得成立 2x+1<-x x<-1/3
所以x取值 （负无穷，-1）&(-1/3,-1/2)&[0,正无穷)

Answer 4

实质是解ax^2+x-a>1，有ax^2+x-a-1>0
因式分解得(ax+a+1)(x-1)>0
分情况，当a<-1/2时，解为x<1或x>-1-1/a
当a>-1/2时，解x>1或x<-1-1/a

追问

函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0,正无穷）上是单调减函数，若实数x满足f(x)>f（2x+1),求x的取值范围。

Answer 5

ax²+x-a>1可得ax²+x-a-1>0,因式分解得(x-1)(ax+a+1)>0,若a=0,则x>1,若a>0,则得x<1或X>1+1/a,若a<0,则1+1/a<x<1