Question

求下列函数的定义域和值域。

Answer 1

（1）
定义域x∈R
y=(1/4)^x+2^(2-x)+3
=(1/2^x)²+4/2^x+3
=(1/2^x-2)²-1
1/2^x＞0
1/2^x-2＞-2
(1/2^x-2)²≥0
(1/2^x-2)²-1≥-1
值域【-1，+∞）

（2）
y=(2^x+3^x)/(2^x-3^x)
= (2^x-3^x+2*3^x)/(2^x-3^x)
= 1 + 2*3^x/(2^x-3^x)
= 1 + 2/{(2/3)^x-1}
(2/3)^x-1≠0
定义域：x≠0
(2/3)^x＞0且≠1
(2/3)^x-1＞-1且≠0
2/{(2/3)^x-1}∈（-∞，-2），（0，+∞）
1 + 2/{(2/3)^x-1}∈（-∞，-1），（1，+∞）
即，值域：（-∞，-1），（1，+∞）

（3）
y={5*2^x-4^x-4}^(1/2)
= √ {5*2^x-4^x-4}
= √{-(2^x-1)(x^x-4)}
-(2^x-1)(x^x-4)≥0

1≤2^x≤4
定义域：0≤x≤2
y= √ {5*2^x-4^x-4}
= √{-(2^x-5/2)²+9/4}
0≤-(2^x-5/2)²+9/4≤9/4

0≤√{-(2^x-5/2)²+9/4}≤3/2

值域：【0，3/2】