Question

常微分方程，画黄色区域之间的过程看不懂，求详细解答！！

Answer 1

（1）图中标错了，上面一条是y=e^x-1,下面一条是y=f(x)
(2)f（x)=e^x-f'(x)
y=f(x)代入
y=e^x-y'
y+y'=e^x
x=0,y=0.代入y'(0)=0
特解，就是通解中一个特定解，满足一定的边界条件（如上面的x=0，y=0，y'(0)=0)
上面方程对应的齐次微分方程为
y+y'=0
dy/dx=-y
dy/y=-dx
两边积分
lny=-x+C
y=e^C.e^(-x)=De^(-x)
求y+y'=e^x得特解，可以用变常数法，设D是x的函数，记为D(x)
y=D(x)e^(-x)
y'=D'(x)e^(-x)+D(x)e^(-x).(-1)
=D'(x)e^(-x)-D(x)e^(-x)
=D'(x)e^(-x)-y
代入：
y+y'=D'(x)e^(-x)=e^x,D'(x)=e^(2x),
积分
D(x)=(1/2)e^(2x)+C2
∴
特解y=[(1/2)e^(2x)+C2]e^(-x)
=(1/2)e^x+C2e^(-x)
通解是其次方程的通解+特解
f(x)=De^(-x)+(1/2)e^x+C2e^(-x)=(D+C2)e^(-x)+(1/2)e^x=D2e^(-x)+(1/2)e^x
通解有了，根据边界条件确定满足要求的那个特殊解：
f(0)=0
D2+1/2=0,D2=-1/2
f(x)=(-1/2)e^(-x)+(1/2)e^x=(1/2)(e^x-e^(-x))

Answer 2

公式一定要记牢