Question

如图，直线y=kx-1与x轴.y轴分别交于B.C两点，OB：BC=1/2。

（1）求B点的坐标和k的值
（2）若动点A（x,y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出三角形AOB的面积S与x的函数关系式。
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，三角形AOB的面积是1/4。
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，是三角形POA是等腰三角形，若存在请写出满足条件的所有P点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)在y=kx-1中令x=0，得y=-1，即C(0,-1)，所以OC=1
因为OB：BC=1/2，所以BC=2OB，在直角△BOC中，OB²+OC²=BC²，即OB²+1²=4OB²
所以OB=±√3/3，故B(√3/3,0)或B(-√3/3,0)，
将B点坐标代入y=kx-1，得k=±√3。
(2)点A（x,y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，即A点在直线y=√3x-1上，且x>√3/3.
所以点A到x轴的距离是√3x-1(x>√3/3)，又OB=√3/3
因此三角形AOB的面积S=(1/2)*(√3/3)*(√3x-1)=1/2x-√3/6.。
(3)①因为S=1/2x-√3/6=1/4，所以x=1/2+√3/3，y=√3(1/2+√3/3)-1=√3/2，
即A(1/2+√3/3，√3/2)
②x轴上存在一点P，使三角形POA是等腰三角形。
若OA=AP时，显然点P的横坐标是点A的横坐标的2倍，故P(1+2√3/3，0),
若OA=OP时，由于OA=√[(1/2+√3/3)²+(√3/2)²]=(1/3)*√(12+3√3)
当P在x轴正半轴时，P((1/3)*√(12+3√3)，0)，
当P在x轴正负轴时，P(-(1/3)*√(12+3√3)，0)，
若OP=AP时，作AD⊥x轴，D为垂足，设P(x，0) (x>0)，
则AP=OP=x，PD=OD-OP=1/2+√3/3-x，AD=√3/2
在直角△ADP中，AP²=PD²+AD²，即x²=(1/2+√3/3-x)²+(√3/2)²
解得x=(5√3-6)/3，故P((5√3-6)/3，0)

Answer 2

（1）X=0时，Y=-1，即点C的坐标为（0，-1），OC=1。
因为OB：BC=1/2，所以，BC=2OB。在直角三角形OBC中，由勾股定理得，
OB平方+OC平方=BC平方，即：OB平方+1=4OB平方，OB=（根号3）/3。
所以，点B的坐标为（（根号3）/3，0），或（-（根号3）/3，0）。
代入y=kx-1，可求得，k=根号3，或k=-根号3。
（2）当点A在y=kx-1第一象限上运动时，k=根号3。y=根号3x-1。A（x，根号3x-1）。
三角形AOB的面积S=1/2*OB*|yA|=1/2*（根号3）/3*（根号3x-1）=1/2x-（根号3）/6。
（3）①S=1/4，即 1/2x-（根号3）/6=1/4，X=1/2+（根号3）/3。
②存在。P1（1+2根号3/3），共有4个，另3个的坐标不好写，在-这里不好表示。