Question

在锐角三角形ABC中,叫A,B,C所对的边分别为a.b,c且(b-c)^2=a^2-bc,求sinb+sinc的范

Answer 1

∵（b－c）^2＝a^2－bc，∴b^2－2bc＋c^2＝a^2－bc，∴b^2＋c^2－a^2＝bc，
∴（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）＝1/2，
∴由余弦定理，有：cosA＝（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）＝1/2，∴A＝60°，∴B＋C＝120°，
∵△ABC是锐角三角形，
∴0°＜B＜90°、0°＜C＜90°，∴－90°＜－C＜0°，∴－90°＜B－C＜90°，
∴－45°＜（B－C）/2＜45°，∴√2/2＜cos［（B－C）/2］＜1。

∴sinB＋sinC＝（1/2）sin［（B＋C）/2］cos［（B－C）/2］
＝（1/2）sin（120°/2）cos［（B－C）/2］＝（√3/4）cos［（B－C）/2］。
∴√6/8＜sinB＋sinC＜√3/4。
∴sinB＋sinC的取值范围是［√6/8，√3/4］。