Question

高中数学不等式题

已知a∈R,b∈R,x,y∈[0,1]，求证：对任意实数a,b，一定能找到x,y，使不等式(xy-ax-by)的绝对值≥1/3成立。

Answer 1

设f(x,y)=|xy-ax-by|=|(x-b)*y-ax|。
原命题成立等价于f(x,0)≥1/3，或者f(x,1)≥1/3。

①先看第一种情况：f(x,0)=|(x-b)*0-ax|=|-ax|=|a|*x≥1/3。
因为|a|*x≤|a|，所以这种情况等价于|a|≥1/3。

也就是说假如|a|≥1/3，取x=1，y=0即可。
下面假设|a|<1/3。

②再看第二种情况：f(x,1)=|(x-b)*1-ax|=|(1-a)*x-b|≥1/3。
这种情况等价于f(0,1)≥1/3，或者f(1,1)≥1/3。

i)f(0,1)=|-b|≥1/3，等价于|b|≥1/3。

与前面类似，只要|a|<1/3，|b|≥1/3，取x=0，y=1即可。
所以下面只要考虑|a|<1/3，|b|<1/3。

ii）f(1,1)=|1-a-b|=|1-(a+b)|≥1/3，因为-2/3<a+b<2/3，∴1/3<1-(a+b)<5/3，
∴f(1,1)=|1-(a+b)|≥1/3必定成立。

综上，命题成立。

Answer 2

解释：集合A即是二次不等式(x-20)[x-(3a+1)]<0的解集，若想使B包含于A，则方程(x-20)[x-(3a+1)]=0的两根x1=10及x2=3a+1必须分布在区间