高中数学不等式题

已知a∈R,b∈R,x,y∈[0,1],求证:对任意实数a,b,一定能找到x,y,使不等式(xy-ax-by)的绝对值≥1/3成立。... 已知a∈R,b∈R,x,y∈[0,1],求证:对任意实数a,b,一定能找到x,y,使不等式(xy-ax-by)的绝对值≥1/3成立。 展开
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百度网友6f78a85
2012-01-10 · 超过11用户采纳过TA的回答
知道答主
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设f(x,y)=|xy-ax-by|=|(x-b)*y-ax|。
原命题成立等价于f(x,0)≥1/3,或者f(x,1)≥1/3。

①先看第一种情况:f(x,0)=|(x-b)*0-ax|=|-ax|=|a|*x≥1/3。
因为|a|*x≤|a|,所以这种情况等价于|a|≥1/3。

也就是说假如|a|≥1/3,取x=1,y=0即可。
下面假设|a|<1/3。

②再看第二种情况:f(x,1)=|(x-b)*1-ax|=|(1-a)*x-b|≥1/3。
这种情况等价于f(0,1)≥1/3,或者f(1,1)≥1/3。

i)f(0,1)=|-b|≥1/3,等价于|b|≥1/3。

与前面类似,只要|a|<1/3,|b|≥1/3,取x=0,y=1即可。
所以下面只要考虑|a|<1/3,|b|<1/3。

ii)f(1,1)=|1-a-b|=|1-(a+b)|≥1/3,因为-2/3<a+b<2/3,∴1/3<1-(a+b)<5/3,
∴f(1,1)=|1-(a+b)|≥1/3必定成立。

综上,命题成立。
coach858
2012-01-09 · TA获得超过318个赞
知道答主
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解释:集合A即是二次不等式(x-20)[x-(3a+1)]<0的解集,若想使B包含于A,则方程(x-20)[x-(3a+1)]=0的两根x1=10及x2=3a+1必须分布在区间
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