Question

已知函数f(x)=x+x/1用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数

Answer 1

令0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1+x1/1-x2-x2/1
=x1x2/(x1²x2+x2-x1x2²-x1)
分母x1x2>0
看分子

分子=x1²x2+x2-x1x2²-x1
=x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)
显然x1-x2<0
因为0<x1<1,0<x2<1
所以x1x2<1
所以(x1-x2)(x1x2-1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0
即0<x1<x2<1时有f(x1)>f(x2)
所以f(x)在(0,1)上是减函数

Answer 2

设0<a<b<1，则f(a)-f(b)=(a+1/a)-(b+1/b)=a-b+1/a-1/b=(a-b)(1-1/ab)，a-b<0,1/ab>1,所以f(a)-f(b)>0，命题得证