Question

分别用泰勒，夹逼，洛必达算下这个

Answer 1

　　解：原式=6lim(n→∞)[1+(1/3)^n+(2/3)^n]^(1/n)。
　　①用泰勒展开式。用广义二项展开式、视“(1/3)^n+(2/3)^n”为整体，[1+(1/3)^n+(2/3)^n]^(1/n)=1+(1/n)[(1/3)^n+(2/3)^n]+O(1/n^2)，
　　∴原式=6lim(n→∞){1+[(1/3)^n+(2/3)^n]/n}=6。
　　②用夹逼定理。∵n是自然数时，有0<2^n+4^n≤6^n，∴6^n<2^n+4^n+6^n≤2*6^n，
　　∴lim(n→∞)(6^n)^(1/n)≤lim(n→∞)(6^n+2^n+4^n)^(1/n)≤lim(n→∞)(2*6^n^(1/n)，而lim(n→∞)2^(1/n)=1，∴lim(n→∞)(6^n+2^n+4^n)^(1/n)=6。
　　③用洛必达法则。lim(n→∞)(6^n+2^n+4^n)^(1/n)=e^[lim(n→∞)(1/n)ln(6^n+2^n+4^n)]，
　　而lim(n→∞)(1/n)ln(6^n+2^n+4^n)属“∞/∞”型，用洛必达法则，
　　∴lim(n→∞)(1/n)ln(6^n+2^n+4^n)=lim(n→∞)[(ln6)+(ln4)(2/3)^n+(ln2)(1/3)^n]/[1+(2/3)^n+(1/3)^n]=ln6，
　　∴原式=e^(ln6)=6。
　　供参考。

追问

谢谢

Answer 2

(6^n)^(1/n)<原式<(3*6^n)^(1/n)，极限都为6，得证
取e为底的对数，对指数部分洛必达，上下约去6^n，得出e^(ln6)=6

Answer 3

6
你泰勒试试。

追问

求用夹逼和洛必达怎么算