Question

已知BC是圆0的弦,A是圆O外一点,三角形ABC是正三角形,D为BC中点,M为圆0上一

已知BC是圆0的弦,A是圆O外一点,三角形ABC是正三角形,D为BC中点,M为圆0上一点,并且角B
已知BC是圆0的弦,A是圆O外一点,三角形ABC是正三角形,D为BC中点,M为圆0上一点,并且角BMC二60度（|）求证AB是圆0的切线，（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且LEDF二120度，圆0的半经为2，试问BE十CF的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由

Answer 1

（1）证明：连接OB ,OC，设AC与圆O相交于点G
因为角BMC=1/2弧BGC=60度
角BOC=弧BGC
所以角BOC=120度
因为OB=OC
所以角OBC=角OCB
因为角OBC+角OCB+角BOC=180度
所以角OBC=30度
因为三角形ABC是正三角形
所以角ABC=角ACB=角BAC=60度
所以角OBA=角ABC+角OBC=90度
因为OB是圆D 半径
所以AB是圆O的切线
(2) BE+CF=CG 即：BE+CF是定值
证明：连接OG
因为角BAC=60度（已证）
角EDF=120度
所以角BAC+角EDF=180度
所以A ,E ,D ,F四点共圆
所以角BED=角AFD

(1)证明：连接OB ,OC
因为角BMC=1/2弧BC=60度
角BOC=弧BOC
所以角BOC=120度
因为OB=OC
所以角OBC=角OCB
因为角OBC+角OCB+角BOC=180度
所以角OBC=角OCB=30度
因为三角形ABC是正三角形
所以角BAC=角ABC=角ACB=60度
所以角ABC+角OBC=角OBA=90度
因为OB是圆O的半径
所以AB是圆O的切线
（2）BE+CF是定值
证明：过点D分别作DP垂直AC于P ,DQ垂直AB于Q
所以角DPC=角DPF=90度
角DQB=角DQE=90度
所以角DPC=角DQB=90度
角DPF=角DQE=90度
因为D是BC的中点
所以DC=DB=1/2BC
因为角ABC=角ACB=60度
所以三角形DPC全等三角形DQB (AAS)
所以PC=QB
DP=DQ
因为角BAC=60度
角EDF=120度
所以角BAC+角EDF=180度
所以A ,E ,D ,F四点共圆
所以角BED=角AFD
所以三角形DPF全等三角形DQE (AAS）
所以PF=QE
因为BE=BQ+QE
CF=PC-PF
所以BE+CF=2BQ
因为角ABC+角DQB+角DQ=180度
所以角BDQ=30度
在直角三角形BQD中，角DQB=90度 角BDQ=30度
所以BQ=1/2DB
所以BQ=1/4BC
所以BE+CF=1/2BC
因为正三角形ABC的边长BC是定值
所以BE+CF是定值

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