Question

数列-1 1/2 -1/3 1/4 -1/5 ……是收敛数列吗？

数列-1 1/2 -1/3 1/4 -1/5 ……是收敛数列吗？极限是多少？为什么？

Answer 1

数列-1 1/2 -1/3 1/4 -1/5 ……是收敛数列，极限为0。

收敛数列，设数列｛Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有｜Xn-a|<q成立，就称数列｛Xn}收敛于a（极限为a），即数列｛Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

有界性：

定义：设有数列Xn ,若存在M>0,使得一切自然数n,恒有｜Xn|<M成立，则称数列Xn有界。

定理1：如果数列｛Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

Answer 2

这是交错级数吧，根据Leibniz定理可知这个级数是收敛的，其和小于等于-1

追问

答案里，说这是收敛数列

极限是0

为什么？

就是

1

还有4

两题

Answer 3

是收敛数列，极限为0
原因：可以用数列收敛的定义进行证明如下
对于上述数列Xn=(-1)^(n)*(1/n)。存在常数A=0，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N=1/q，使得n>N=1/q时，恒有|Xn-0|=<q成立，所以数列{Xn}收敛于0（即极限为0），这就证明了数列{Xn}为收敛数列

追问

能说的简单一点吗

谢谢

追答

就是用数列收敛的定义。
但是定义中的各个字母的含义首先要能理解。首先很容易看出数列的极限为0，所以A=0，然后帮N找到合适的值，使得定义中的|Xn-A|=<q成立就可以了。分析数列的特点，很容易知道当N与q的关系满足N=1/q时能够使得不等式成立，所以带入即可证得