Question

高数中为什么一个函数可导就一定连续呢？可以用公式证明一下吗？

Answer 1

因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等 而函数可导就暗含了这个条件 所以函数可导就一定连续

Answer 2

根据可导的定义公式就能得到
f（x）在x=x0点处的导数定义公式：
f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
如果f（x）在x0点可导，则f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）这个极限存在，等于一个有限常数，设为k
首先，这个定义公式中，有f（x0）存在，所以x0必须在f（x）的定义域内，如果x0不在定义域内，必然不可导。
因为lim（x→x0）（x-x0）=0
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）{[f（x）-f（x0）]/（x-x0）}*（x-x0）
=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）*lim（x→x0）（x-x0）=k*0=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数（任何函数在某个确定点上的函数值都是常数）
所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
即lim（x→x0）f（x）=f（x0）
即f（x）在x0点的极限值等于函数值，根据函数连续的定义，f（x）在x0点处连续。
所以可导必然连续。