Question

已知椭圆x²+4y²=1，求3x+4y最大最小值

Answer 1

把椭圆方程x²+y²/(1/2)²=1改写成参数形式：
x=cost，y=(1/2)sint；t∈[0，2π)
那么3x+4y=3cost+2sint=3[cost+(2/3)sint]=3(cost+tanφsint)
=(3/cosφ)(costcosφ+sintsinφ)=(√13)cos[t-arctan(2/3)]
其中tanφ=2/3，sinφ=2/√13，cosφ=3/√13.
∵ -1≦cos[t-arctan(2/3)]≦1;当t=arctan(2/3)时cos[t-arctan(2/3)]=cos0=1;
当t=π+arctan(2/3)时cos[t-arctan(2/3)]=cosπ=-1.
∴ -√13≦3x+4y≦√13
即(3x+4y)min=-√13；(3x+4y)max=√13.