Question

如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2倍根号3,PC=4,求∠APC

Answer 1

设等边三角形ABC边长为a，由余弦定理得：a²=PA²+PC²-2PAPCcos∠APC，a²=4+16-16cos∠APC，同理得：a²=4+12-8√3cos∠APB，a²=12+16-16√3cos(2π-∠APC-∠APB)，cos∠APC=(20-a²)/16，sin∠APC=√[40a²-a^4-144]/16，cos∠APB=(16-a²)/(8√3)，sin∠APB=√[32a²-a^4-64]/(8√3)，带入cos(∠APC+∠APB)=(28-a²)/(16√3)，得：(96-28a²+a^4)²=(40a²-a^4-144)(32a²-a^4-64)，整理得：a^4-32a²-112=0，a²=28或a²=4，∵PA+a=2+a＞PC，a＞2，∴a²=4舍去，取a²=28，cos∠APC=(20-a²)/16=-1/2，∠APC=120°。
另外，把△APC逆时针旋转60°AC边与AB边重合，形成△AP'B，PB'=PC=4，∠P'AP=60°，P'A=PA=2，则△P'AP为等边△，∠AP'P=60°，P'P=2，在△BP'P中由余弦定理得：PB²=P'B²+P'P²-2P'BP'Pcos∠BP'P，12=16+4-16cos∠BP'P，cos∠BP'P=1/2，∠BP'P=60°，∠APC=∠AP'B=∠AP'P+∠BP'P=60°+60°=120°.

Answer 2

120度。
你可以平移两边，构成平行四边形做。