Question

已知直线y=k(x-2)被顶点在原点，焦点为(1,0)的抛物线C截得的弦长为4倍根号六，求k的值。

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Answer 1

南充期末统考倒数第二题
抛物线方程为 y^2=4x，与直线方程联立得 k^2(x-2)^2=4x，
化简得 k^2*x^2-4(k^2+1)x+4k^2=0 ，
设交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2=4(k^2+1)/k^2，x1*x2=4 ，
所以由弦长公式得 |AB|^2=(k^2+1)*[(x1+x2)^2-4x1*x2]=(k^2+1)*[16(k^2+1)^2/k^4-16]=96，
解得 k^2=1 ，
因此，k=-1 或 k=1 。

Answer 2

顶点在原点，焦点为(1,0)的抛物线C方程为 y²=4x
把直线 y=k(x-2)的方程代入抛物线方程，得
k²(x-2)²=4x
k²x²-(4k²+4)x+4k²=0
直线被抛物线所截的弦的两个端点（x1,y1) (x2,y2)的横坐标是上面关于x的一元二次方程的两个根
所以，
x1+x2=4+4/k² x1x2=4
y1+y2=k(x1-2+x2-2)=k(x1+x2-4)=k(4+4/k²-4)=4/k
y1y2=k²(x1-2)(x2-2)=k²(x1x2-2(x1+x2)+4)=k²(4-8-8/k²+4)=-8
那么弦长为 4√6=√（x1-x2)²+(y1-y2)²=√(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y
=√16+32/k²+16/k⁴-16+16/k²+32=4√1/k⁴+3/k²+2
即 4√6=4√（1/k⁴+3/k²+2)
令1/k²=t
则 t²+3t-4=0
(t+4)(t-1)=0
t=-4 或 t=1
∵ t>0
∴t=1
∴1/k²=1
k=±1

Answer 3

p/2=1
p=2
y^2=4x
y=k(x-2)
联立
k2x2-(4k2+4)x+4k2=0
设两点A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1+x2=(4k2+4)/k2
x1x2=4
弦长=√(1+k^2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4√6
解得k2=1/4
k=1/2或k=-1/2

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Answer 4

已知直线y=k(x-2)被顶点在原点，焦点为(1,0)的抛物线C截得的弦长为4倍根号六，求k的值。
解：p/2=1，故p=2，∴抛物线方程为y²=4x
将y=k(x-2)代入抛物线方程得：k²(x-2)²=4x，即有k²x²-4(k²+1)x+4k²=0
设弦AB的两个端点的坐标为：A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，依韦达定理：
x₁+x₂=4(k²+1)/k²
x₁x₂=4k²/k²=4
y₁+y₂=k(x₁-2)+k(x₂-2)=k(x₁+x₂)-4k=4k(k²+1)/k²-4k=4/k
y₁y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)=k²[x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]=k²[4-8(k²+1)/k²+4]=k²(-8/k²)=-8
故弦长︱AB︱=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]
=√[16(k²+1)²/k⁴+16/k²-4(4-8)]=(4/k²)√[(2k²+1)(k²+1)]=4√6
(2k²+1)(k²+1)=6k⁴，2k⁴+3k²+1=6k⁴，4k⁴-3k²-1=(4k²+1)(k²-1)=0，故得k²=1，k=±1。

Answer 5

因为抛物线的焦点为（1,0）、所以P=2,所以抛物线方程为Y平方=4X、有因为炫长为4倍根号6、连理直线方程与抛物线方程、得二次函数、再由两根之积a/c=4、两根之和-b/c=,由炫长公式得K=、自己解、、