Question

设向量组a1a2a3a4线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一

设向量组a1a2a3a4线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数

Answer 1

因为a1,a2,...,as线性相关.所以存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k1a1+k2a2+...ksas=0成立.假设k1,k2,...,ks有至少一个数是0,设为ki=0.从k1a1+k2a2+...ksas=0k1a1+k2a2+...ksas（不含kiai项）+0ai=0k1a1+k2a2+...ksas（不含kiai项）=0a1、a2……as（不含ai项）线性相关.这与其中任意s-1个向量都线性无关矛盾.所以k1,k2,...,ks没有为0的数.即必存在一组全都不为零的数k1,k2,...,ks,使k1a1+k2a2+...ksas=0