Question

证明方程x^5+x-1=0只有一个正根

Answer 1

可以用导数的知识来证明，证明如下：
设f(x)=x^5+x-1，则：
f(x)'=5x^4+1，当x取任意实数，都有5x^4+1>0。
所以：
f(x)为增函数。
又因为f(0)=0+0-1=-1<0。
所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点，且这个交点在x=0的右边。
即：
x^5+x-1=0只有一个正根，得证。
扩展资料：
导数与函数的性质
单调性
（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

Answer 2

y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0 y=-1
当x=1 y=1
所以 在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根

Answer 3

证：设函数f(x)=x^5+x-1 假设方程f(x)=0存在两不等实根x1,x2,即f(x1)=f(x2)=0 则在开区间（x1,x2）上必然存在一点ξ，使得f”(ξ)=0 事实上，f”(x)=5x^4+1>0恒成立，与假设矛盾！ 所以方程f(x)=0至多存在一个实根。 由因为f(0)=-1，f(1)=1,f(x)在（0,1）内必存在一实根。 综上所述，方程x^5+x-1=0只有一正根

Answer 4

f(x)=x^5+x-1
f'(x)=5x^4+1>0
函数f(x)在R上单调增
f(0)=-1<0 f(1)=1>0
在(0,1)内只有一个值使得f(x)=0
x^5+x-1=0只有一个正根