Question

已知f(x)是二次函数。且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1 (1)求f(x)的表达式 （2）若不等式f(x)＞m在x∈...

已知f(x)是二次函数。且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1
(1)求f(x)的表达式
（2）若不等式f(x)＞m在x∈[－1，1]上恒成立，求实数m取值范围

Answer 1

1∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax2+bx
∵f（x+1）=f（x）+x+1
∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1
∴ a=1/2，b=1/2
∴ f(x)=1/2X2+1/2X
2 1/2x2+1/2x＞M恒成立
∴ a＜1/2(x+1/2)2+(-1/8)
∴ a＜-1/8

Answer 2

（1）直接设f(x)=ax²+bx+c
那么f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
f(x＋1)＝f(x)＋x＋1
a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+bx+c+x+1
简化：2ax+a+b=x+1
可得：a=1/2，b=1/2
f(0)＝0
所以c=0
a,b,c的值代入：f(x)=x²/2+x/2

Answer 3

（1）令f(x)=ax²+bx+c 由f(0)＝0有c=0
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1令x=0，x=1
得a=0.5 b=0.5则f(x)=0.5x²+0.5x
（2）配方f(x)=0.5(x+0.5)²-1/8
f(x)有最小值f(-0.5)=-1/8
由题f(x)恒大于m，故m恒小于-1/8。

Answer 4

（1）f=ax²+bx+c由f(0)＝0f(x＋1)＝f(x)＋x+1得f(1)=f(0)+1=1，f(2)=f(1)+2=3,把（0,0）（1,1）（2,3）3点代入得a=1/2,b=1/2,c=0故f=0.5x²+0.5x
（2）f=0.5×（x+0.5)²-1/8，对称轴为x=-0.5,m<=f(-0.5)=-1/8即可

Answer 5

(1)f(x)=ax^2+bx+c 因为f(0)＝0 所以c＝0 ，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1 令X=0，f(1)＝1，令X=1 f(2)＝3 代入a=1/2 b=1/2 c=0(2)因为f(x)在x∈[－1，1]上大于等于-1/8 所以m小于-1/8 ， f(x)＞m在x∈[－1，1]上恒成立