Question

求救！求解一个简单的二元二次偏微分方程！

鄙人菜鸟，因工作需要，要求解一个简单的二元二次偏微分方程，方程和边界条件如图所示，在此真诚请教大侠，求方程的解析解。
t=0时，T=20℃

Answer 1

这是个简单的热传导方程，属于经典的问题，这个是很容易用分离变量法解的。最终是无穷级数解。不过你这个边界是第三类的，稍微麻烦一点。还有你的初始条件没有给出。边界条件给的也不够。如果是无穷区域上的，可以用傅里叶或者拉普拉斯变换处理，都比较简单。

追问

终于等到高手了，谢谢你的指点，但是我还是不会啊，我高数没有学好，大侠能否帮我解一下，给我解析解，我的邮箱是wjzh1009@163.com,谢谢你啊！初始条件还有一个，t=0时，T=20℃，其余没了

追答

看来是半无界区域上的热传导问题，这个问题不能用分离变量法求解了。这个问题可以用拉普拉斯变换来求解，可以对时间t,也可以给x取拉氏变换，因为这个问题中关于x给的是第三种边界（有关于x的一阶导数），所以肯定可以用关于对x的拉式变换来求解。不过我是学工科的，不是学数学的，这些有些忘记了。如果你急需答案，你可以给知名的国内偏微分研究所的一些教师去邮件询问，马上就会有结果。如果你不急着答案，我可以替你求解，但是估计要费些时间，因为我还需要先看下这些内容，也不一定结果正确。而且最终得到的结果是一个积分，这个积分一般是积不出来的，引用到工程领域的话，需要进行数值积分才能出结果。
建议你可以参考一下东南大学编的《数学物理方程与特殊函数》中的75页和76页，大致你就知道思路了。