Question

函数f（x）连续，f'(x0)＞0，则f(x)在x0点的某邻域单调增加。

这句话错在哪里？求指点。

Answer 1

如果f'(x)连续,则结论成立.否则可能不成立。

f(x)=x+x^2sin(1/x),当x不为0时；f(0)=0,易知f'(0)=1>0,但

f'(x)=1+2xsin(1/x)－cos(1/x),f'(1/kpi)=1－(－1)^k,在k趋于无穷的过程中，f'(x)总有大于0的点,也有小于0的点,在0的任一个右邻域内f(x)不是单调的。

单调函数

一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

Answer 2

首先 ，函数连续不一定一阶导数连续，想函数 y=|x| 可知 x0>0的话，导数就是大于0的，但是x0的邻域可能包含了x轴左边的某些点和0，那么这样就不是单调增加了，只知道一个点的导数大于0是没用的，必须说整体邻域所有x0的导数都大于0，才能说其单调增加
欢迎追问！这是一个概念问题一定要弄懂~

Answer 3

后半句错误，但是没说是左还是右边的邻域，不能以偏概全