Question

PA垂直平面ABC，AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小. 用向量解,谢谢!

Answer 1

应楼主要求，用向量法解决~~(说起来也并不复杂的、)

解：

∵PA⊥平面ABC

又AC、BCㄷ平面ABC

∴PA⊥AC，PA⊥BC

且AC⊥BC

即PA、AC、BC两两垂直

如图，以A为坐标原点，过点A作∥BC的直线为x轴，AC、AP所在直线分别为y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A(0，0，0)，B(√2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)

∴向量AP＝(0，0，1)，向量PB＝(√2，1，－1)，向量CP＝(0，－1，1)

设平面ABP的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)

则有：

{n1•向量AP＝0

{n1•向量PB＝0

即有：

{z1＝0

{√2x1＋y1－z1＝0

取x1＝1，则y1＝－√2，z1＝0

∴平面ABP的一个法向量n1＝(1，－√2，0)

设平面BCP的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)

同理，可求得法向量n2＝(0，1，1)

设二面角A－PB－C的平面角为θ，则

|cosθ|＝|cos<n1，n2>|＝|n1•n2|/(|n1||n2|)＝(√2)/(√3•√2)＝(√3)/3

∵二面角A－PB－C为锐角

∴二面角A－PB－C的余弦值为(√3)/3

∴二面角A－PB－C的大小为arccos(√3)/3．

[求二面角的方法]

⑴几何法：利用二面角的定义，找到二面角的平面角，通过解三角形得到二面角的大小，但是二面角的确定是一个难点

⑵坐标法：建立适当的空间直角坐标系，求得相关两个半平面的法向量n1，n2，则cos<n1，n2>＝(n1•n2)/(|n1||n2|)．设二面角的平面角为θ，则θ＝<n1，n2>或θ＝π－<n1，n2>

作为理科生，我建议用坐标法(即向量法)，思路简单，而且模式固定，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化，解题思路直观明了，把问题直接转化为向量运算问题．这也正是作为理科生解决空间立体几何问题的一个优势哟~~~

Answer 2

来自大科学团队的解答
过A做AM垂直PC于M
易知
PA⊥BC,AC⊥BC
=>
BC⊥PAC
=>
BC⊥AM,BC⊥PC
又
AM⊥PC
=>
AM⊥PBC
cosA-PB-C = S(PMB)/S(PAB) = 1/2*S(PBC)/S(PAB) = 1/2*1/ √3/2
= 1/√3

追问

能用向量解决吗？

追答

向量说起来多麻烦、、、简单问题直接解多好