Question

一道二次函数与几何数学题，求帮助

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
顶点D的坐标为（1，4）．

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得 {3k+b=0k+b=4，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线AD解析式为y=-2x+6．（7分）
s= 12PE•OE= 12xy= 12x（-2x+6）=-x2+3x，
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+ 94）+ 94=-（x- 32）2+ 94．
∴当 x=32时，s取得最大值，最大值为 94．
（3）当s取得最大值， x=32，y=3，
∴ P(32，3)．
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．
在Rt△P′MC中，由勾股定理， (32)2+(3-m)2=m2．
解得m= 158．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H= 910．
由△EHP′∽△EP′M，可得 EHEPʹ=EPʹEM，EH= 65．
∴OH=3- 65=95．
∴P′坐标 (-910，95)．
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴ CMMH=MHPM=12．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k= 32，k= 310．
由三角形中位线定理，PN=8k= 125，P′N=4k= 65．
∴CN=PN-PC= 125- 32= 910，即x=- 910．
y=PF-P′N=3- 65=95
∴P′坐标（- 910， 95）．
把P′坐标（- 910，95）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上

Answer 2

解：（1）抛物线解析式为y=-x2-2x+3,顶点为（-1,4）
（2）存在，分类讨论，一、以D为直角顶点不存在，二以C为直角顶点，过点C做AC的垂线交y轴于点D,此时求得D(0,3.5);三过点A做AC的垂线交y 轴于点D2，求得D2(0，-1.5)
（3）这样的P点有很多个，在AC上去异于AC的点，并作x轴的平行线交抛物线于点P,过点P做AC的垂线，这样得到的三角形一定符合要求，可以求出P点得坐标

Answer 3

把A,B两点的坐标带进抛物线y=ax2+bx+3，就能求出解析式，用公式法求出顶点坐标就可以了
"(因为没有时间，下面就省略了