Question

高一数学函数的学习要点在哪？

Answer 1

1。定义的理解：函数是一种两个数集元素之间的对应关系（又叫函数关系）这种关系可以用f来表示。函数的表示有列表法，图像法，解析法。
已知A={1,2} B={0，3}写出所有从A到B的函数。
解：从A到B的函数有：f1: 1→0，2→0 f2：1→3，2→3 f3：1→0，2→3 f4：1→3，2→0
共4种
2。定义域问题：函数定义域是指自变量的取值范围。一个完整的函数不仅要有解析式而且要有定义域。判断两个函数是否相同不仅要看解析式还要看定义域。
例如 判断y=x/x^2与y=1/x是否为同一函数。
解 因为它们有相同的定义域，而且解析式x/x^2=1/x,所有是同一函数。

抽象函数定义域的求法：
三种类型
（1）。已知y=f(x)定义域A,求y=f(p(x))定义域B.由x属于A得到p(x)εB解出x即可

如已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域的求法为：8>=x^2-1>=0
解出 3>=x>=1即[1,3]

（2）。已知y=f(p（x))定义域B 求y=f(x)的定义域A
因为y=f(p(x))的定义域B 令t=p(x) 求出x属于B时的t的范围就是y=f(t)的定义域
也就是y=f(x)的定义域。

如 已知y=f(x^2-1)的定义域为[1,3]，求y=f(x)定义域
解 令t=x^2-1 ,因1<=x<=3 所以0<=t<=8 y=f(t)的定义域[0,8]

y=f(x)定义域[0,8]

（3）。已知y=f(p(x))求y=f(g(x))的定义域
用上边的方法由y=f(p(x))的定义域求出y=f(x)定义域，然后再求出y=f(g(x))定义域
3。值域问题；求函数的值域必须看函数的定义域。
求函数值域的几种常见方式
(1）直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a不等于 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b²)/4a}；
当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b²)/4a}
例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x²-2x+3
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，
∴值域是y∈[-1，5]
②y=x²-2x+3
∵1>0,∴y(min)=(4ac-b²)/4a=[4×1×3-（-2）²]/4×1=1
即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x²-6x+12 x∈[4,6]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x²-6x+12 在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x²-6x+12 x∈[0,5]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x²-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
(3)察看法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
(4)配方式求y=√(x²-6x-5)的值域
∵-x²-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x²-6x-5=-(x+3)²+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)²≤4所以-4≤-(x+3)²≤0
终于得到0≤-(x+3)²+4≤4所以0≤√(x²-6x-5)≤2
所以y=√(x²-6x-5)的值域是[0,2]
(5).图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因为y=-2x+2(x<-3)
y=8 (-3≤x<5)
y=2x-2(x≥5)
自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8，+）(6)判别式法求y=1/(2x²-3x+1)解
∵2x²-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
将函数变形可得2yx²-3yx+y-1=0当y≠0时,
上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y²-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0
当y=0时，方程无解，所以y=0不是原函数的值
所以y=1/(2x²-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)

（7）换元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t²+1所以y=2(t²+1)-t=2t²-t+2=2(t-1/4)²+15/8
因为t≥0所以y=2x－√（x4。单调性问题：
（1）证明函数在指定区间的递增和递减问题
证明 f(x)=1+x/√x在（0，1〕上是递减的。
证明：任取x1，x2ε（0，1〕 x1＞x2
f（x1）－f（x2）＝（√x1－√x2）（√x1√x2－1）／√x1√x2

因为 √x1－√x2＞0，√x1√x2－1＜0，√x1√x2＞0
所以 f（x1）－f（x2）＜0 函数在（0，1〕上递减。
一般情况下 证明f（x1）＞f（x2）可以采用作差法，作商法。
（2）求单调区间问题
①.定义法

例题 已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。

解 分析函数在R+上的单调性

任取x1>x2>0

Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)

=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)

令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0

因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1

当3X2^2-1>=0时 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的

同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的

故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)

因此 a=根号3/3

一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。

②.图像法

例题 求y=x+3/x-1的单调区间

解 函数定义域为（-，1）并（1，+)

Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1

由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。

函数的图像是解决这类问题的关键。

③.性质法

性质：增+增=增 减+减=减

y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性 当k<0有相反的单调性

y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性

例题 求y=x^3+x的单调区间。

解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。

由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.

④.复合法

u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。

例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。

解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u

当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增

当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减

Y=根号u递增

所以 原函数的单调增区间为[1,+)

减区间为（-，-1]

5。求参数问题
（1）恒成立问题
m≥f(x)转化为m≥f(x)的最大值，m≤f(x)转化为m≤f(x)的最小值。
例题 已知m≥x^2+2x+3 xε[2,3]时恒成立，求m的范围。
解：令y=x^2+2x+3 得y最大值为30 所以m≥30
(2)单调性问题
例题 已知y=x^2+2x+2在（a,+∞)上递增，求a的取值范围。
解：y=x^2+2x+2的增区间为[-1,+∞) 所以a≥1
-1)的值域是[15/8,+∞)
6。复合函数的奇偶性问题

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，

（1）如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，

当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；
当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

（2）如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

结论：F(X)=f(g(x))的奇偶性
若 g(x)奇，f(x)奇 则 F(X)奇
若g(x),f(x)中至少有一偶函数，则 F(X)偶

例题：判断F(X)=(X^2+1)^3（-2≤X≤2)的奇偶性。
解：定义域关于原点对称
u=g(x)=x^2+1(-2≤x≤2)是偶函数
f（u)=u^3 是奇函数
所以 原函数是偶函数

Answer 2

函数是高中的重点，也是难点，需要对变量动态理解。
理解性质，用性质解题是关键

追问

太笼统了吧

Answer 3

值域就是求Y的限制定义域就是X的限制 如：在根号里就要大于等于0对称：关于Y轴对称（X变符号） 关于X轴对称（Y变符号） +分吖

追问

加拉。没有多少啦。详细一点啊

Answer 4

二次函数值域与最值问题