Question

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60

）在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．
（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF= PE？请写出探究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）
图

Answer 1

解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以为例，证明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，
又∵∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．
2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB

（3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF= 1/2PB
又∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=1/2 PE.