Question

高中数学不等式求解题技巧 因为还没学到想看看解题手法

已知函数f(x)=|2x+1|-|x-3|
(1)解不等式f(x)小于等于4
（2）若存在X使得f(x)+a小于等于0成立 求实数a的取值范围

Answer 1

主要方法就是把函数表示为分段函数，把每一段上求得的不等式的解与该段的定义域求交集，然后把各段的解求并集。
(1)当x≤-1/2时，f(x)=-2x-1+x-3=-x-4,f(x)≤4,解得x≥-8,与定义域求交集得-8≤x≤-1/2
当-1/2≤x≤3时，f(x)=2x+1+x-3=3x-2,f(x)≤4,解得x≤2,与定义域求交集得-1/2≤x≤2
当x≥3时，f(x)=2x+1-x+3=x+4,f(x)≤4解得x≤0,与定义域交集是空集
所以原不等式的解集为-8≤x≤2
(2)当x≤-1/2时，f(x)+a≤0,-x-4+a≤0,可得x≥a-4,a-4≤-1/2,得a≤7/2
当-1/2≤x≤3时，f(x)+a=3x-2+a≤0,可得x≤(2-a),2-a≥-1/2,得a≤5/2
当x≥3时，f(x)=x+4+a≤0,可得x≤-a-4，-a-4≥3,得a≤-7
综上，当a≤7/2时，不等式成立

Answer 2

（1），根据绝对值里的式子，得到两个点-½，3；
①当x≤－½时，f（x）=-（2x+1）-（3-x）≤4，解出x≥-8，则-8≤x≤－½；
②当－½＜x≤3时，f（x）=（2x+1）-（3-x）≤4，解出x≤2，则－½＜x≤2；
③当x＞3时，f（x）=（2x+1）-（x-3）≤4，解出x≤0，x不存在。
∴解集-8≤x≤2
（2）化简得a≤-f（x），即a小于等于-f(x)的最小值。
①当-8≤x≤－½， -f(x) = x+4，在这个范围中，最小值为-8+4=-4，故a≤-4；
②当－½＜x≤2，-f(x) =-3x+2 ，在这个范围中，最小值为-3×2+2=-4，即a≤-4；
综上所述a≤-4