Question

初三数学题！ 函数

（7分）
已知抛物线y=kx²+(k-2)x-2 (其中k>0)
(1)若该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；
(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n)，直接写出|n|的最小值；
(3)将该抛物线先向右平移 1/2 个单位长度，再向上平移 1/k 个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图像上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围)。

Answer 1

y=kx²+(k-2)x-2
=(x+1)(kx-2) ......交点式

(1)
该抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（2/k，0）
对称轴：x=-(k-2)/(2k)=(2-k)/(2k)；极值：y = {4*k*(-2)-(k-2)^2}/(4k) = -(k-2)^2/k
顶点坐标（ (2-k)/(2k)，-(k-2)^2/k ）

(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n)，
n=-(k-2)^2/k
|n| = (k-2)^2/k
当k=2时，|n|的最小值0

(3)
将该抛物线先向右平移 1/2 个单位长度
对称轴从(2-k)/(2k)变化到(2-k)/(2k)+1/2=(2-k+k)/(2k)=1/k
再向上平移 1/k 个单位长度，极小值从-(k-2)^2/k变化到-(k-2)^2/k+1/k = -(k^2-5k+4)/k
即x=1/k，y = -(k^2-5k+4)/k
根据x=1/k，k=1/x，将k=1/x代入y = -(k^2-5k+4)/k
y = -(1/x^2-5/x+4)x = -(1/x-5+4x) = -(4x^2-5x+1)/x

追问

谢谢，
为什么 将k=1/x代入y = -(k^2-5k+4)/k ？题中不是说“新函数”吗？

追答

是的