设函数fx=x ln(e^x+1)-1/2x^2+3，x属于[-t,t],(t>0),若函数的最大值是M，最小值是m，则M+N=？
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求导得:
f'(x)=ln(e^x+1)+[xe^x/(e^x+1)]-x=ln(e^x+1)-x/(e^x+1)=[1/(e^x+1)][(e^x)ln(e^x+1)+ln(e^x+1)-ln(e^x)]
又因为当x∈[-t,t]时:e^x+1>1>0,又因为ln(e^x+1)-ln(e^x)>0
故f'(x)>0恒成立
故该函数在[-t,t]上单调增,故有:
M=f(x)max=f(t),m=f(x)min=f(-t)
故有:M+m=f(t)+f(-t)=tln(e^t+1)-1/2t^2+3-tln(e^-t+1)-1/2t^2+3
=tln(e^t+1)-1/2t^2+3+t^2-tln(e^t+1)-1/2t^2+3
=3+3
=6
f'(x)=ln(e^x+1)+[xe^x/(e^x+1)]-x=ln(e^x+1)-x/(e^x+1)=[1/(e^x+1)][(e^x)ln(e^x+1)+ln(e^x+1)-ln(e^x)]
又因为当x∈[-t,t]时:e^x+1>1>0,又因为ln(e^x+1)-ln(e^x)>0
故f'(x)>0恒成立
故该函数在[-t,t]上单调增,故有:
M=f(x)max=f(t),m=f(x)min=f(-t)
故有:M+m=f(t)+f(-t)=tln(e^t+1)-1/2t^2+3-tln(e^-t+1)-1/2t^2+3
=tln(e^t+1)-1/2t^2+3+t^2-tln(e^t+1)-1/2t^2+3
=3+3
=6
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