Question

设f(X)在(-∞,+∞)上存在二阶导数，且f(0)<0， f''(x)>0，证明f(X)至少一个实根至多两个实根。

意思是f(X)=0至少一个实根至多两个实根

Answer 1

f'(x)是严格递增函数。若f'(x)恒小于0，则f(x)严格递减，且当x<0时，f(x)-f(0)=f'(c)x>f'(0)x，因此随着x趋于负无穷有f'(0)x趋于正无穷，f(x)趋于正无穷，故f(x)在（负无穷，0）上有一个根，且是整个定义域上惟一实根。若f'(x)恒大于0类似可证有惟一实根。若存在a使得f'(a)=0，f'(x)<0当x<a时，f'(x)>0当x>a时，则f(x)在（负无穷，a）严格递减，在（a，正无穷）严格递增，且类似上面可证f(x)当x趋于无穷时趋于正无穷，再加上f(0)<0知f有两个实根。

Answer 2

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