Question

高中数学竞赛！

（1）6小于等于a小于等于10,1/2 a小于等于b小于等于2a，c=a-b
求c的取值范围
（2）c、d为正实数，且c+d小于等于a，c+d小于等于b
求证：ca+db小于等于ab
（3）f（x）=ax^2-c,若-4小于等于f（1）小于等于-1，-1小于等于f（2）小于等于5
求证-1小于等于f（3）小于等于20

Answer 1

（1）线性规划：建立b-a平面直角坐标系。1/2*a≤b≤2a等价于1/2*b≤a≤2b。
设6≤a≤10，1/2*b≤a≤2b所对应的区域为区域A.。
由条件：a=b+c。所以c表示过区域上A的点（b,a）作斜率为1的直线的在y轴上的截距。
画图可知，当（b,a）=（20,10）时，Cmin=-10；当（b,a）=（5,10）时，Cmax=5。
所以-10≤c≤5。

（2）两种情况：
i）若a≥b，则ab-（ac+bd）=a（b-c）-bd≥ad-bd=d（a-b）≥0。
ii）若a<b，则ab-（ac+bd）=b（a-d）-ac≥bc-ac=c（b-a）≥0。
综上，命题成立。

（3）由条件得：-4≤f（1）=a-c≤-1≤f（2）=4a-c≤5。
f（3）=9a-c=（8（4a-c）-5（a-c））/3=（8f（2）-5f（1））/3。
当f（2）=-1，f（1）=-1时，f（3）max=-1。
当f（2）=5，f（1）=-4时，f（3）max=20。
所以-1≤f（3）≤20。

Answer 2

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