Question

在直角坐标系中，抛物线y=ax平方+bx+c(a不等于0)与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)交y轴于点C(0,3)，

（接上）点D为抛物线的顶点。直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q。
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
（3）设E为线段OC上的三等分点，若以E为圆心的圆同时经过P、Q两点，求点P的坐标。

Answer 1

第一问：可以设双根式（x-x1)(x-x2)
解：设此抛物线的解析式为y=a（x+1)（x-3).
根据题意，得
3=a(0+1)(0-3)
解得a=﹣1.
∴原抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),
即y=-x²+2x+3.
y=-x²+2x+3
=-(x²-2x)+3
=-（x²-2x+1-1)+3
=-（x-1)²+4
∴顶点D的坐标是（1,4）
答：此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3,顶点D的坐标为（1,4）。

希望对你有帮助O(∩_∩)O~