Question

第二题求解答过程谢谢

Answer 1

f'(x)=1-(a+1)/x+a/x^2=(1-1/x)(1-a/x)=(x-1)(x-a)/x^2
若a<=1,那么x属于[1,e]时 f'(x)>0 f(x)单增 最小值为f(1)=1-a

若1<a<e ,那么x属于[1,a]时 f'(x)<0 f(x)单降
x属于[a，e]时 f'(x)>0 f(x)单增
最小值为f(a)=a-(a+1)lna-1
若a>e,那么x属于[1,e]时 f'(x)<0 f(x)单降 最小值为f(e)=e-(a+1)-a/e

2)a<1时，若x属于[e,e^2] f'(x)>0 f(x)单增 最小值为f(e)=e-(a+1)-a/e
g(x)=1/2x^2+e^2-xe^x g'(x)=x-(1+x)e^x g''(x)=1-(x+2)e^x g''(x)=-(x+3)e^x<0
g''(x)单增 g''(-2)=1，g‘’(-1)=1-e^(-1)>0 g''(0)=-1 存在唯一b属于[-1,0]
使得 g''(b)=0 1=(b+2)e^b b+2=e^(-b)
且 x属于[-2,b]时 g''(x)>0 g'(x)<=g'(b) x属于[b,0]时 g''(x)<0 g'(x)<=g'(b)
而g'(b)=b-(1+b)e^b=b-(e^(-b)-1)e^b=b-(1-e^b)<0
所以 g(x)在区间[-2,0]单降
x2属于[-2,0]，g(x2)的最小值为g(0)=e^2
存在x1属于[e,e^2]，使得对任意x2属于[-2,0]，f(x1)<g(x2)恒成立