Question

已知函数f(x)=2根号3sinxcosx+2cos^2x-1(x属于R),g(x)=f(x)的决定值。(1)求函数g(x)的单调递减区间；

若A是锐角三角形ABC的一个内角，且满足f(A)＝2/3，求sin2A的值

Answer 1

f(x)=2根号3sinxcosx+2cos^2x-1=根号3*sin2x+cos2x=2(cos派/6*sin2x+sin派/6*cos2x)=2sin(2x+派/6)
g(x)=|f(x)|=|2sin(2x+派/6)|
由g(x)的图像可以明显看出，单调减区间是[(k+1/6)派 , (k+5/12)派],k是整数

f(A)=2sin(2A+派/6)=2/3
因为0<A<派/2，所以派/6<2A+派/6<7派/6
在[派/6，7派/6]上，f的值为2/3的只有 派-arcsin(2/3)，
所以2A+派/6=派-arcsin(2/3)
2A=5派/6-arcsin(2/3)
sin(2A)=sin(5派/6-arcsin(2/3))=sin5派/6*cos(arcsin(2/3))-cos5派/6*2/3
=(根号5+2根号3）/6