Question

Y 已知x，y均为正实数，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为？

Answer 1

解：可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知
得：x²-(K+6)x+8K=0
即：△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
(K-2)(K-18)≥0·①
因x、y均为正数，所以K=x+y>6，K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18，所以x+y的最小值为18。

Answer 2

2x＋8y－xy＝0得到y=2x/(x-8)
x+y=x+2x/(x-8)=x+8-8+(2x-16+16)/(x-8)=(x-8)+16/(x-8)+10>=18
x+y的最小值为18

Answer 3

y=2x/(x-8),因为x,y为正数，x>8
x+y=x+2x/(x-8)=(x-8)+16/(x-8)+10>=2√[(x-8)*16/(x-8)]+10=18(均值不等式）
故最小值为18

Answer 4

2x+8y-xy=0
2x+8y=xy
2/y + 8/x=1
x+y
=(x+y)*1
=(x+y)(2/y + 8/x)
=8+2+ 2x/y +8y/x
≥10+2√[(2x/y)(8y/x)]
=10+2√16=18
最小值为18