Question

已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数y=f'(x),对任意正实数X满足xf'(x)>-2f(x),若g(x)=x^2f(x),

已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数y=f'(x),对任意正实数X满足xf'(x)>-2f(x),若g(x)=x^2f(x),则g(x)<g(1-x)不等式的解集是

Answer 1

• R上的偶函数f(x),x∈(0,+∞) xf'(x)>-2f(x)→x·xf'(x)>-x·2f(x)→x²f'(x)+x·2f(x)>0

  g(x)=x²f(x)→g'(x)=2xf(x)+x²f'(x)

  ∴x∈(0,+∞) g'(x)>0 g(x)为增函数

  g(-x)=(-x)²f(-x)=x²f(x)=g(x)

  ∴g(x)为偶函数→x∈(-∞,0)  g(x)为减函数

  g(0)为极小值

• g(x)<g(1-x)

  x>0∩1-x>0→0<x<1时 x<1-x→x∈(0,½)

  (x<0∩1-x<0)→不存在

  x≤0∩1-x>0→x≤0时，-x<1-x 恒成立

  x>0∩1-x<0→x>1时，x<x-1→不存在

  ∴解集是x∈(-∞,½)