Question

大一微分方程，求通解

Answer 1

求微分方程 y''=y'³+y' 的通解
解：令y'=dy/dx=p..........①，
则y''=dy'/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)
代入原式得 p(dp/dy)=p³+p...........②
不难看出：p=y'=0，即y=c是原方程的一个解。
当p≠0时，可用p除②的两边得：dp/dy=p²+1
分离变量得：dp/(1+p²)=dy；积分之得：y=arctanp+c₁
故p=tan(y-c₁)；代入①式得 dy/dx=tan(y-c₁)
分离变量得：cot(y-c₁)dy=dx；
积分之得：x=∫cot(y-c₁)d(y-c₁)=lnsin(y-c₁)+c₂.
lnsin(y-c₁)=x-c₂；sin(y-c₁)=e^(x-c₂)
∴原方程的通解为：y=c₁+arcsin[e^(x-c₂)]

Answer 2