Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E

，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y= x2+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（－1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）。
显然AD⊥BC且AD＝√3BD＝2√3，∴A的坐标是（1，2√3）。

∵EO∥AD、BO＝OD＝1，∴EO是△ABD的中位线，∵EO＝AD/2＝√3，
∴点E的坐标是（0，√3）。
即：A、E的坐标分别是（1，2√3）、（0，√3）。

第二个问题：
∵A、E在y＝x^2＋bx＋c上，∴2√3＝1＋b＋c、且√3＝c。
∴b＝2√3－1－√3＝√3－1。
∴满足条件的抛物线的解析式是y＝x^2＋（√3－1）x＋√3。

第三个问题：
过D作DF⊥AC交AC于F，延长DF至G，使DF＝FG，连结BG，则BG与AC的交点就是点P。
∵BD＝2，是定值，∴要使△PBD的周长最小，只需要PB＋PD最小就可以了。

下面证明此时能使PB＋PD取得最小值：
过G作GH⊥BC交BC的延长线于H。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，显然有：DC＝2。
∵CF⊥DG、DF＝FG，∴PC是DG的垂直平分线，∴PD＝PG，
∴PB＋PD＝PB＋PG＝BG。
显然，AC上除P外的任何一点Q，都能使Q、B、G构成三角形，
由三角形两边之和大于第三边，得：QB＋QG＞BG，而Q在DG的垂直平分线上，
∴QD＝QG，∴QB＋QD＞BG。
∴BG、AC的交点就是能使PB＋PD取得最小值的点P。

∵CF是DG的垂直平分线，∴CG＝DC＝2，∴∠FCG＝∠ACB＝60°，
∴∠GCH＝180°－∠ACB－∠FCG＝180°－60°－60°＝60°，∴CH＝1、GH＝√3。
∴OH＝OD＋DC＋CH＝1＋2＋1＝4。∴点G的坐标是（4，√3）。
∴BG＝√［（4＋1）^2＋（√3－0）^2］＝√（25＋3）＝2√7。
∴△PBD的周长最小值为2＋2√7。

由B（－1，0）、G（4，√3），得：BP的斜率＝√3/5，∴BP的方程为y＝（√3/5）（x＋1）。
由A（1，√3）、C（3，0），得：AC的斜率＝－√3/2，∴AC的方程为y＝－（√3/2）（x－3）。
联立：y＝（√3/5）（x＋1）、y＝－（√3/2）（x－3），消去y，得：
（√3/5）（x＋1）＝－（√3/2）（x－3），∴2（x＋1）＝－5（x－3），∴2x＋2＝－5x＋15，
∴7x＝13，∴x＝13/7，∴y＝（√3/5）（13/7＋1）＝4√3/7。
∴P的坐标是（13/7，4√3/7）。

将P的坐标是（13/7，4√3/7）代入抛物线方程y＝x^2＋（√3－1）x＋√3中，
左边＝4√3/7、右边＝169/49＋13√3/7－13/7＋√3，显然左右不等，∴点P不在抛物线上。