已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E

,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)(1)求点A、E的坐标;(2)若y=x2+bx+c过点A、E,求抛物线的解析式;(3)连接PB、PD,设L为... ,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)
(1)求点A、E的坐标;
(2)若y= x2+bx+c过点A、E,求抛物线的解析式;
(3)连接PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
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飘渺的绿梦
2012-01-11 · TA获得超过3.5万个赞
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第一个问题:
∵△ABC是边长为4的等边三角形,又B的坐标为(-1,0),BC在x轴上,A在第一象限,
∴点C在x轴的正半轴上,∴C的坐标为(3,0),由中点坐标公式,得:D的坐标为(1,0)。
显然AD⊥BC且AD=√3BD=2√3,∴A的坐标是(1,2√3)。

∵EO∥AD、BO=OD=1,∴EO是△ABD的中位线,∵EO=AD/2=√3,
∴点E的坐标是(0,√3)。
即:A、E的坐标分别是(1,2√3)、(0,√3)。

第二个问题:
∵A、E在y=x^2+bx+c上,∴2√3=1+b+c、且√3=c。
∴b=2√3-1-√3=√3-1。
∴满足条件的抛物线的解析式是y=x^2+(√3-1)x+√3。

第三个问题:
过D作DF⊥AC交AC于F,延长DF至G,使DF=FG,连结BG,则BG与AC的交点就是点P。
∵BD=2,是定值,∴要使△PBD的周长最小,只需要PB+PD最小就可以了。

下面证明此时能使PB+PD取得最小值:
过G作GH⊥BC交BC的延长线于H。
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,显然有:DC=2。
∵CF⊥DG、DF=FG,∴PC是DG的垂直平分线,∴PD=PG,
∴PB+PD=PB+PG=BG。
显然,AC上除P外的任何一点Q,都能使Q、B、G构成三角形,
由三角形两边之和大于第三边,得:QB+QG>BG,而Q在DG的垂直平分线上,
∴QD=QG,∴QB+QD>BG。
∴BG、AC的交点就是能使PB+PD取得最小值的点P。

∵CF是DG的垂直平分线,∴CG=DC=2,∴∠FCG=∠ACB=60°,
∴∠GCH=180°-∠ACB-∠FCG=180°-60°-60°=60°,∴CH=1、GH=√3。
∴OH=OD+DC+CH=1+2+1=4。∴点G的坐标是(4,√3)。
∴BG=√[(4+1)^2+(√3-0)^2]=√(25+3)=2√7。
∴△PBD的周长最小值为2+2√7。

由B(-1,0)、G(4,√3),得:BP的斜率=√3/5,∴BP的方程为y=(√3/5)(x+1)。
由A(1,√3)、C(3,0),得:AC的斜率=-√3/2,∴AC的方程为y=-(√3/2)(x-3)。
联立:y=(√3/5)(x+1)、y=-(√3/2)(x-3),消去y,得:
(√3/5)(x+1)=-(√3/2)(x-3),∴2(x+1)=-5(x-3),∴2x+2=-5x+15,
∴7x=13,∴x=13/7,∴y=(√3/5)(13/7+1)=4√3/7。
∴P的坐标是(13/7,4√3/7)。

将P的坐标是(13/7,4√3/7)代入抛物线方程y=x^2+(√3-1)x+√3中,
左边=4√3/7、右边=169/49+13√3/7-13/7+√3,显然左右不等,∴点P不在抛物线上。
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