Question

一到高中数学题，请求详细解答，万分感谢~~

Answer 1

若x，y∈R，x²+y²-2x+4y=0，则x-2y的最大值为？
解：配方得(x-1)²+(y+2)²=5，这是一个圆心在(1，-2)，半径R=√5的圆。
把圆的方程改写成参数形式得x=1+(√5)cost，y=-2+(√5)sint，于是
x-2y=1+(√5)cost+4-2(√5)sint=5+(√5)(cost-2sint)...............................(1)
令tanφ=2，则sinφ=2/√5，cosφ=1/√5，代入(1)式得;
x-2y=5+(√5)(cost-tanφsint)=5+[(√5)/cosφ][costcosφ-sintsinφ]=5+5cos(t+φ)
∵-1≦cos(t+φ)≦1，∴0≦5+5cos(t+φ)≦10，即x+2y的最大值为10，最小值为0。
故应选B。

Answer 2

最大（小）值为x-2y=k的直线，与圆相切时k的值
假设x-2y=k
x=2y+k
代入函数
得(2y+k)^2+y^2-2(2y+k)+4y=0
5y^2+2ky+k^2-2k=0
判别式为0
所以4k^2-20k^2+40k=0
k=5/2或k=0
所以x-2y最大值为5/2

Answer 3

答案：B。
解析：数形结合思想。将等式化简为(x-1)^2+(y+2)^2=5 ( ^符号加数字是指乘多少次方)
即以(1,2)为原点，根5为半径的圆。设x-2y=z,即x-2y-z=0，这是一个直线方程。
转化成几何意义为“此直线与圆必有焦点，求z的范围。”
即直线到圆心距离小于等于半径，有不等式“(5-z)的绝对值/根5小于等于根5。”
（点到直线距离公式）解得z属于0到10（左右都是闭区间）。所以，选B。

Answer 4

解：已知即(x-1)^2+(y+2)^2=5
设t=x-2y，整理即x-2y-t=0，显然这是一条斜率一定(1/2)的动直线(因为有未知数t)，而该直线和圆(x-1)^2+(y+2)^2=5必须有交点(因为都有同样的x,y)，所以最值当且仅当直线与圆相切时取到，即
d=|1-2(-2)-t|/√5=|5-t|/√5=√5
|t-5|=5,解得t=0,10
故x-2y的最大值是10。