Question

A(2,0),过点（1/2，0）作直线L与双曲线X^2/4-Y^2/3=1交予E F两点 EF中点M，若AM的斜率K=1/8，求L方程

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Answer 1

设L：y=k(x-1/2)，即y=kx-k/2
E(x1,y1)，F(x2,y2)，EF中点M(x0,y0)，则2x0=x1+y1，2y0=y1+y2
AK的斜率k=y0/(x0-2)=1/8，得：8y0=x0-2
即：4(y1+y2)=(x1+x2)/2-2
8(y1+y2)=x1+x2-4，①
因为E,F在直线y=kx-k/2上，则：y1=kx1-k/2，y2=kx2-k/2；
所以：y1+y2=k(x1+x2)-k，代入①式，得：
8k(x1+x2)-8k=x1+x2-4
(8k-1)(x1+x2)=8k-4，②
直线y=kx-k/2与双曲线x²/4-y²/3=1联列方程组，消去y，得：
3x²/4-(kx-k/2)²=3
(3-4k²)x²+4k²x-k²-12=0
由韦达定理：x1+x2=-4k²/(3-4k²)，代入②式，得：
4k²(8k-1)/(4k²-3)=8k-4
k²(8k-1)=(2k-1)(4k²-3)
8k³-k²=8k³-4k²-6k+3
3k²+6k-3=0
k²+2k-1=0
k=-1-√2，或k=-1+√2
双曲线的渐近线斜率为±(√3)/2，
L过点(1/2,0)，易得当k=-1-√2时，L与双曲线无交点；舍去。
所以，k=-1+√2；
所以，L的方程为：y=(-1+√2)(x-1/2)

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