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设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx怎么证明，谢

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx怎么证明，谢谢啦！

Answer 1

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx。

前面第一个积分符号积分区间是[0,1]，第二个积分符号积分区间是[0,x]，第三个积分符号积分区间是[0,1]。

调换一下积分次序即可，对式子左边先对x积分，后对t积分，则为∫[∫f(t)dx]dt，前面第一个积分符号积分区间是[0,1]，第二个积分符号积分区间是[t,1]。

f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t)，现在就只是关于t式子，用x替换t不影响定积分的结果，替换之后就是原式右边。

气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。连续函数的复合函数是连续的。

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。

参考资料来源：百度百科——连续函数

Answer 2

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx
前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1].

调换一下积分次序即可.
对式子左边先对x积分,后对t 积分,则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1].
f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t).现在就只是关于t式子,用x替换t不影响定积分的结果,替换之后就是原式右边