Question

已知点O为三角形ABC的外心，角A,B,C的对边分别为a，b，c。

（1）若三倍的OA向量加四倍的OB向量加五倍的OC向量=0向量，求cos角BOC的值。
（2）若CO向量乘AB向量=BO向量乘CA向量，求A方分之B方加C方的值。

Answer 1

(1)因为O是外心，所以OA，OB，OC的长度都相等，设为x。设AO的延长线交BC于D，则
4x*sin角BOD=5x*sin角COD
4x*cos角BOD+5x*cos角COD=3x
联立解得cos角COD=3/5,sin角COD=4/5,cos角BOD=0,sin角BOD=1，
所以cos角BOC=cos(角BOD+角COD）=0-4/5=-4/5

(2)A方分之B方加C方是什么意思？

追问

就是（B的平方加C的平方）除以A的平方

追答

设AC中点为D，则BO=BD+DO
所以BO*CA=(BD+DO)*CA
又DO垂直于CA，所以DO*CA=0
所以BO*CA=BD*CA=1/2*（BA+BC）CA=1/2*（BA+BC）（BA-BC）=1/2*（BA^2-BC^2）=(c^2-a^2)/2
同理CO*AB=(a^2-b^2)/2
所以(c^2-a^2)/2=(a^2-b^2)/2，得到(b^2+c^2)/a^2=2