Question

已知直线L与圆(x-1)^2+(y-1)^2=2相切，且交x轴,y轴于点A,B，求|OA|+|OB|的最小值。

如图，已知直线L与圆(x-1)^2+(y-1)^2=2相切，且交x轴,y轴于点A,B，求|OA|+|OB|的最小值。

Answer 1

设|OA|=a,|OB|=b
L：x/a+y/b=1
即bx+ay=ab
圆心（1,1）到L的距离=半径√2
d=|a+b-ab|/√(a²+b²)=√2
|a+b-ab|=√2*√(a²+b²）
平方
a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=2(a²+b²）
a²+b²-a²b²+2ab²+2ab²=2ab
2ab≥2ab-a²b²+2ab(a+b)
2(a+b)≤ab=[(a+b)/2]²
所以 a+b≥8
所以 a+b的最小值为8
(当a=b=4时等号成立)
即|OA|+|OB|的最小值为8

追问

为什么当a=b=4时等号成立？还有，这里的定值在哪里？

追答

2(a+b)≤ab=[(a+b)/2]²
均值不等式啊
解不等式
a+b≥8

（是间接利用基本不等式，转化为含a+b的不等式，然后解这个不等式即可）

追问

谢谢，加分。

追答

谢谢，呵呵

Answer 2

8