Question

y=（e^2x）/x的单调区间和凹凸性

Answer 1

y′=[(e^2x )/x]′
=[（e^2x）′*x-（e^2x）*x′]/x²
=[2xe^2x-e^2x]/x²
=e^2x(2x-1)/x²
当x＞1/2时，y为单调递增
当x＜1/2时，y为单调递减

y'=e^2x(2x-1)/x²
=2e^2x/x-e^2x/x²

e^2x/x²求导
=[（e^2x）′*x²-（e^2x）*x²′]/x^4
=[2x²e^2x-2xe^2x]/x^4
=2xe^2x(x-1)/x^4

y''=2e^2x(2x-1)/x²-2xe^2x(x-1)/x^4
=2x²e^2x(2x-1)/x^4-2xe^2x(x-1)/x^4
=2xe^2x(2x²-x-x+1)/x^4
=2xe^2x(2x²-2x+1)/x^4
=4xe^2x(x²-x+1/2)/x^4
=4xe^2x[(x-1/2)²+1/4]/x^4
当x＞0时，为凹区间
当x＜0时，为凸区间

追问

这个第九题

已经求出单调区间，证明出了最小值是-2，那接下来怎么证明有几个根

追答

因为|cosx|≤1, 所以解只在|3x²-1|≤1
即0≤3x²≤2 中有解，即|x|≤√(2/3)
记f(x)=3x²-1-cosx, f(x)为偶函数，先考虑x≥0
f'(x)=6x+sinx
在[0, √(2/3)], 有f'(x)≥0, 即f(x)在此区间单调递增，又f(0)=-2, f(√(2/3))=1-cos√(2/3)>0, 所以在此区间有一个解。
由偶函数对称性，f(x)有2个零点。即方程有2个根

追问

谢谢

Answer 2

单调减函数,凹函数（由速拍学区房平台提供）

追问

可以帮我写下过程吗