Question

（大一高数）判断下列正项级数的收敛性 拜托大佬过程稍微详细点🙏

Answer 1

（2）比较法或者比值法。采用比较法，因为sinx≤x（在x≥0时成立），所以sin(π/3^n)≤π/3^n，而以后者为通项的级数是几何级数，公比的绝对值小于1，所以后者收敛。根据比较法知道前者也收敛。

（4）分母部分，n的立方根是根号n的低阶无穷大，所以在极限过程中，分母=n*sqrt(n)+o(n+sqrt(n))，分子是对数函数，它的增长速度比任何幂为正的幂函数都要慢，所以整个级数的增长速度是接近于p级数的，其中p≈3/2>1，所以级数是收敛的。证明过程可以用Raabe判别法或者比较法。这里基于上面的分析，采用比较法。

比较这两个级数（通项比较）：

因为

所以当n充分大以后，前者的通项是小于后者的。而后者的增长速度是与Σ(1/n^(5/4))相当的，所以后者收敛，根据比较法可知前者也收敛。

(6)观察通项，采用根式法：

对通项开n次根号，值为n/(3n-1)，再取极限，值为1/3<1，所以级数收敛。