Question

已知向量a.b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若向量c=a+m·b（m∈R）,a⊥c

（1） 求m，（2）若d=a+nb（n∈R）,求|c+d|的最小值

Answer 1

解析：
（1）已知向量a.b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，则：
数量积向量a·b=|a|×|b|×cos60°=1
又向量c=a+m·b（m∈R）且a⊥c，则有：
a·c=0即a·(a+m·b)=0
所以|a|²+m×a·b=0
即4+m=0
解得m=-4

（2）由（1）知：c=a-4b
若d=a+nb（n∈R），则：
向量c+d=a-4b+a+nb=2a+(n-4)b
所以：|c+d|²=(c+d)·(c+d)
=[2a+(n-4)b]·[2a+(n-4)b]
=4|a|²+4(n-4)×a·b+(n-4)²|b|²
=16+4(n-4)+(n-4)²
=[(n-4)+2]²+12
=(n-2)²+12
则当n=2时，|c+d|²取得最小值为12，此时对应的|c+d|的最小值为2√3

Answer 2

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