Question

经过点A(-2,0)作直线交曲线y=√(1-x^2)于P、Q,且|PQ|=1，求直线AQ的方程

Answer 1

曲线是以原点为圆心，半径为1，x轴以上的半圆。
△PQO为等边三角形
所以，∠APO=120度
1/sin∠PAO=2/sin∠APO
sin∠PAO=(1/4)根号3
tan∠PAO=(1/13)根号39
AQ的方程为
y/(x+2)=(1/13)根号39

Answer 2

设直线方程为y=kx+b (k≥0)
有-2k+b=0,即b=2k;
设p(x1,y1),Q(x2,y2)
∵x^2+y^2=1 (y≧0)
∴x^2+(kx+b)^2=1
即x^2+(kx+2k)^2=1
即(1+k^2)x^2+4k^2x+4k^2-1=0
∴x1+x2=-4k^2/(1+k^2) x1*x2=(4k^2-1)/(1+k^2)
∵(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)(x1-x2)^2
=(1+k^2)((x1+x2)^2-4x1x2)
=(1+k^2)(16k^4/(1+k^2)^2-(16k^2-4)/(1+k^2)
=(4-12k^2)/(1+k^2)=1
∴k=√39/13
b=2√39/13
∴y=√39x/13+2√39/13

Answer 3

曲线y=√(1-x^2) 是以原点为圆心半径为1的上半圆
连接OP,OQ.(半径)
OP=OQ=1
而PQ=1
所以△OPQ是个边长为1的等边三角形
从原点O 作PQ的高OB
其高为OB=√3/2
其高就是原点到直线的距离√3/2
设直线为y=kx+c，kx-y+c=0，k>0
由于过点A（-2,0）
√3/2=Ik*0-0+cI/√(k²+1) =IcI/√(k²+1) ① 距离公式
0=-2k+c ② 过点A
由②得出c=2k>0
代入①得2k/√(k²+1)=√3/2
从而求出k=√(3/13), c=2√(3/13)

另外也可以通过直角三角形OAB求出斜率
BO=√3/2,斜边OA=2
则边AB=√13/2
所以斜率为k=tan∠BAO=OB/AB=(√1/2)/(√13/2)=√(3/13)

所以方程为y=kx+c=√(3/13)x+2√(3/13)
即x-√(13/3) y+2=0