Question

一条高中数学问题，要求详细的解答过程！谢谢

在ΔABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项。（1）求B的大小 （2）若a+c=√10（根号十），b=2，求ΔABC的面积

Answer 1

1、由bcosB是acosC，ccosA的等差中项 得 2bcosB=acosC+ccosA
由余弦定理知 cosC = （a²+b²-c²）/2ab
cosA = (b²+c²-a²）/2bc
带入到上面的等式 得 2bcosB= b cosB=½ B=60度
2、由余弦定理得 b²=a²+c²-2ac cosB 将 b=2 cosB=½ 带入 整理后得
a²+c²-ac=4 （一式） 给a+c=√10 两边同时平方 得 a²+c²+2ac=10 （二式）
用二式 减 一式 得 3ac= 6 ac=2
面积公式为 S=½ ac sinB =½ * 2 * 二分之根三 = 二分之根三

Answer 2

由已知条件得2bcosB=acosC+ccosA 所以cosB=acosC+ccosA /2b
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC 得2bcosB=bcosCsinA/sinB+bsinCcosA/sinB
所以2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C） 因为三角形中sin（A+C）=sinB
所以2sinBcosB=sinB 所以cosB=1/2 因为B属于（0°，180°）所以B为60°
2：由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB 因为b=2，B=60°所以a^2+c^2=4+ac
又因为a+c=√10两边平方得a^2+c^2+2ac=10所以ac=2
因为三角形面积S=1/2acsinB(面积公式)所以SΔABC=√3/2