求助，数学建模题
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数学建模 试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一 路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。 作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的， 则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F（a）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k次渡河前此岸的商人数为kx，随从数为ky，k=1，2,........，kx，ky=0，1，2，3。将二维向量ks=（kx，ky）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S。S=()}{2 ,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======yxyxyxyx （3分） 记第k次渡船上的商人数为ku随从数为kv将二维向量kd=（ku，kv）定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知 D=(){2 ,1,0,,1|,=£+£vuvvuvu} （3分）
数学模型B参考答案（电气05 年12月）第2 页（共5页） 状态ks随kd的变化规律是： 1+ks= ks+()kk d*-1 （3分） 模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分） 1、÷÷÷ ø öçççèæ=14/13/1411311 A试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）。 答：÷÷÷ øöçççèæ=14/13/1411 311A 中各列归一化
÷÷÷ø ö çççèæ8/19/17/18/49/47/38/39/47/3 各行求和 ÷÷÷øöçççèæ569.0373.1248.1=w 2分 而÷÷÷ ø ö çççèæ=328.1897.4328.4Aw，（1分） 所以最大特征根为 123 .3)569 .0328 .1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==å=iiiwAwl 2分 其一致性指标为： CI=061.02 3 123.31 33 =-= --l 2分 CR= 1.0106.058 .0061.0>==RICI 所以A不通过一致性检验。 2分
数学模型B参考答案（电气05 年12月）第3 页（共5页） 2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。 若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分) 答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略) 3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2, 缺货损失费为C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设: 1. 产品每天需求量为常数r 2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C3 ，当t=T1时产品已用完 4. 生产周期为T，产量为Q (2分) 模型建立 一周期总费用如下:
2 )(2213121TTrCQTCCC-++= (2分) 一周期平均费用为
rT QrTCrTQCTCQTf2)(2),(2 3221-+ += (2分) 模型求解: 用微分法解得周期
3 2321)(2CrCCCCT+= (1分) 产量
) (23223 1CCCCrCQ+= (1分) 4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。 设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。 解：状态()() ()死亡患病健康32,1===，iii 依歇易得转移概率阵为çççèæ=065.08 .0P 025.018.0 ÷÷÷ ø ö11.002.0 2分 记()()() )(),(,321nananan=a， 则 ()Pnn×=+)(1aa ),2,1(¼¼=n ………… （1分）
数学模型B参考答案（电气05 年12月）第2 页（共5页） 状态ks随kd的变化规律是： 1+ks= ks+()kk d*-1 （3分） 模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分） 1、÷÷÷ ø öçççèæ=14/13/1411311 A试用和法求出A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）。 答：÷÷÷ øöçççèæ=14/13/1411 311A 中各列归一化
÷÷÷ø ö çççèæ8/19/17/18/49/47/38/39/47/3 各行求和 ÷÷÷øöçççèæ569.0373.1248.1=w 2分 而÷÷÷ ø ö çççèæ=328.1897.4328.4Aw，（1分） 所以最大特征根为 123 .3)569 .0328 .1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==å=iiiwAwl 2分 其一致性指标为： CI=061.02 3 123.31 33 =-= --l 2分 CR= 1.0106.058 .0061.0>==RICI 所以A不通过一致性检验。 2分
数学模型B参考答案（电气05 年12月）第3 页（共5页） 2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。 若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。(9分) 答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略) 3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2, 缺货损失费为C3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设: 1. 产品每天需求量为常数r 2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C3 ，当t=T1时产品已用完 4. 生产周期为T，产量为Q (2分) 模型建立 一周期总费用如下:
2 )(2213121TTrCQTCCC-++= (2分) 一周期平均费用为
rT QrTCrTQCTCQTf2)(2),(2 3221-+ += (2分) 模型求解: 用微分法解得周期
3 2321)(2CrCCCCT+= (1分) 产量
) (23223 1CCCCrCQ+= (1分) 4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。 设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。 解：状态()() ()死亡患病健康32,1===，iii 依歇易得转移概率阵为çççèæ=065.08 .0P 025.018.0 ÷÷÷ ø ö11.002.0 2分 记()()() )(),(,321nananan=a， 则 ()Pnn×=+)(1aa ),2,1(¼¼=n ………… （1分）
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